混合三种背包问题

--write by zhuwx 2019-06-24 20:58:02 +0800 CST

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问题 
如果将P01、P02、P03混合起来。也就是说,有的物品只可以取一次(01背包),有的物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。应该怎么求解呢? 

01背包与完全背包的混合 
考虑到在P01和P02中最后给出的伪代码只有一处不同,故如果只有两类物品:一类物品只能取一次,另一类物品可以取无限次,那么只需在对每个物品应用转移方程时,根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可,复杂度是O(VN)。伪代码如下: 

for i=1..N 
if 第i件物品是01背包 
for v=V..0 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 
else if 第i件物品是完全背包 
for v=0..V 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 

再加上多重背包 
如果再加上有的物品最多可以取有限次,那么原则上也可以给出O(VN)的解法:遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话,用P03中将每个这类物品分成O(log n[i])个01背包的物品的方法也已经很优了。 

小结 
有人说,困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论,但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来01背包、完全背包、多重背包都不是什么难题,但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实,领会三种基本背包问题的思想,就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。 
P05: 二维费用的背包问题 
问题 
二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择这件物品必须同时付出这两种代价;对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量)。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2,第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值(两种背包容量)分别为V和U。物品的价值为w[i]。 

算法 
费用加了一维,只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是:f [i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}。如前述方法,可以只使用二维的数组:当每件物品只可以取一次时变量v和u采用顺序的循环,当物品有如完全背包问题时采用逆序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。 

物品总个数的限制 
有时,“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的:最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用,每个物品的件数费用均为1,可以付出的最大件数费用为M。换句话说,设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值,则根据物品的类型(01、完全、多重)用不同的方法循环更新,最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。 

另外,如果要求“恰取M件物品”,则在f[0..V][M]范围内寻找答案。 

小结 
事实上,当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时,在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。